11Lektion 11

11.1 Pensum til denne lektion

Afsnit 10.5-10.6 i lærebogen.

11.2 Noter

Integration af en sum eller forskellen imellem to funktioner

$\int f(x) \pm g(x) {\mathrm{d}}x = \int f(x) \pm \int g(x) {\mathrm{d}}x$

Partiel integration (ubestemt integral)

$\int f(x)g'(x) \, {\mathrm{d}}x = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, {\mathrm{d}}x$

Partiel integration (bestemt integral)

$\int_a^b f(x)g'(x) \, {\mathrm{d}}x = \bigg|_a^b f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \, {\mathrm{d}}x$

Integration ved substitution (ubestemt integral)

Lad $u=g(x)$ , så:

$\int f(g(x)) g'(x) \, {\mathrm{d}}x = \int f(u) \, du$

Integration ved substitution (bestemt integral)

Lad $u=g(x)$ , så:

$\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, {\mathrm{d}}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$

Integration ved substitution (generel metode)

Løs $\displaystyle\int G(x)\, dx$ ved at...

vælge del af integranden $u=g(x)$
beregne $du = g'(x)\, dx$
omskrive $\displaystyle\int G(x)\, dx = \int f(u)\, du$
finde stamfunktionen $F(u)$
indsætte $g(x)$ igen: $\displaystyle\int G(x)\, dx = F(g(x)) + C$

11.3 Opgaver

Herunder er nogle potentielle skridt, som skal anvendes til partiel integration. Sæt de rigtige skridt i den rigtige rækkefølge for at lave en korrekt opskrift på partiel integration for integralet

$\int f(x) g'(x) \, \mathrm{d} x$

Tjek at den nye integrand er simplere end den originale.

Beregn $\mathrm{d} u = g'(x) \mathrm{d} x$ .

Bestem den indre funktion i en sammensat funktion som $u$ .

Identificér $f(x)$ som en funktion med en kendt stamfunktion.

Identificér $g'(x)$ som en funktion med en kendt stamfunktion.

Første led er $f(x) g(x)$ , hvor $g'(x)$ er integreret.

Andet led er $-\displaystyle\int f'(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ .

Identificér $f(x)$ som en funktion der kan differentieres.

Beregn integralet $-\displaystyle\int f'(x) g(x) \, \mathrm{d} x$ .

Brug partiel integration til at beregne de følgende ubestemte integraler:

$\int x \ln(x){\mathrm{d}}x$
$\int 4x e^{4x}{\mathrm{d}}x$
$\int \frac{4x+2}{e^x}{\mathrm{d}}x$

Brug partiel integration til at beregne de følgende bestemte integraler:

$\int_0^1 x^2e^x{\mathrm{d}}x$
$\int_0^2 (x-2)e^{x/2}{\mathrm{d}}x$
Her skal du også anvende substitution.

$\int_{-1}^1 x \ln(x+2){\mathrm{d}}x$

Til forrige lektion (opgave 10.14) beregnede du følgende bestemte integral:

$\int_{-3}^{3}(x-1)^2{\mathrm{d}}x$ Prøv denne gang at beregne det igennem integration ved substitution.

Brug integration ved substitution til at beregne det følgende ubestemte integral:

$\int 2x(x^2+1)^2{\mathrm{d}}x$

Brug integration ved substitution til at beregne det følgende bestemte integral:

$\int_5^8\frac{x}{x-4}{\mathrm{d}}x$

(Tidligere eksamensopgave)

Et integrale er givet ved:

$\int_{0}^{1} x(1+x)^3{\mathrm{d}}x$

Beregn integralet.

(Tidligere eksamensopgave)

Beregn integralet:

$\int x\sqrt{1+x^2}{\mathrm{d}}x$