1Uge 36

Der er ikke nogen øvelsestimer i den første uge, men vi vil kraftigt opfordre dig til at genopfriske dine matematikkundskaber fra gymnasiet ved at gennemgå vores BSS matematik brush-up kursus. Kurset består af en række quizzer, hvor du kan teste dig selv. Hvis der er noget du oplever som svært, har vi skrevet nogle korte tekster til at hjælpe dig i gang. Det er designet til at give dig den bedst mulige start på faget matematik, men vil også hjælpe dig i andre fag som fx statistik.

1.1 Pensum til denne uges forelæsning

Sektion 6.1 – 6.7 i lærebogen.

1.2 Pensum til denne uges opgaver

De emner, som er dækket i vores brush-up kursus, svarer nogenlunde til kapitel 1 – 5 i lærebogen.

1.3 Noter

1.3.1 Vigtige regneregler

Her er en række vigtige regneregler, som du kender fra gymnasiet.

Brøker

$\begin{aligned} a \cdot \frac{b}{c} &= \frac{a \cdot b}{c} \qquad {}& \frac{a}{\frac{b}{c}} &= \frac{a \cdot c}{b} \qquad {}& \frac{\frac{a}{b}}{c} &= \frac{a}{b \cdot c} \\[4ex] \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} & =\frac{a \cdot d}{b \cdot c} {}& \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} &=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} \end{aligned}$

Kvadratsætninger

$\begin{aligned} (a+b)^{2} &= a^{2}+b^{2}+2 ab \\ (a-b)^{2} &= a^{2}+b^{2}-2 ab \\ (a+b)(a-b) &= a^{2}-b^{2} \end{aligned}$

Potenser

$\begin{aligned} a^{m} \cdot a^{n} &= a^{m+n} \qquad {}& \frac{a^{m}}{a^{n}} &= a^{m-n} \qquad {}& \left(a^{m}\right)^{n} &= a^{m \cdot n} \\[3ex] (a \cdot b)^{m} &= a^{m} \cdot b^{m} \qquad {}& \left(\frac{a}{b}\right)^{m} &= \frac{a^{m}}{b^{m}} \qquad {}& a^{0} &= 1 \\[3ex] a^{-m} &= \frac{1}{a^{m}} \qquad {}& \sqrt[m]{a} &= a^{\frac{1}{m}} \qquad {}& \sqrt[n]{a^{m}} &= a^{\frac{m}{n}} \\[3ex] \sqrt{a \cdot b} &= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad {}& \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad {}& \sqrt{a} &= a^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$

Andengradsligning

En andengradsligning er en ligning af formen

$ax^2 + bx + c = 0. \tag{1.1}$ Diskriminanten, $D$ , er defineret som

$D = b^2 - 4ac. \tag{1.2}$ Hvis $D > 0$ har ligningen to løsninger, givet ved

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}. \tag{1.3}$ Hvis $D = 0$ har ligningen én løsning, givet ved

$x = \frac{-b}{2 a}. \tag{1.4}$ Hvis der er to løsninger $x_1$ og $x_2$ kan andengradsligningen skrives

$a (x-x_1) (x-x_2) = 0 \tag{1.5}$ Dette kaldes at faktorisere ligningen, da den er udtrykt som et produkt af faktorer.

Den naturlige eksponential- og logaritmefunktion

Sammenhæng mellem eksponential og logaritmefunktionerne

$y = \ln(x) \Leftrightarrow x = e^{y}$ Den naturlige logaritmefunktion

$\begin{aligned} \ln(e) &= 1 \qquad {}& \ln(a \cdot b) &= \ln(a) + \ln(b) \\[3ex] \ln \left(\frac{a}{b}\right) &= \ln (a)-\ln (b) \qquad {}& \ln \left(a^{r}\right) &= r \cdot \ln (a) \end{aligned}$ Den naturlige eksponentialfunktion

$y = \exp(x) = e^x$

$e^x e^y = e^{x+y} \qquad \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$

1.4 Opgaver

Nedenunder er har vi indsat nogle yderligere opgaver man kan lave for at træne opgaver med særlig vægt på forståelse.

Denne opgave handler om at forstå andengradsligningen grafisk. Nedenfor er et plot af funktionen

$f(x) = ax^2 + bx + c.$

Du kan ændre værdien af $a, b$ og $c$ ved at trække i de tre sliders, og se hvordan plottet af $f(x)$ ændrer sig. Svar på nedenstående spørgsmål.

Forklar med ord, hvordan en ændring af værdierne af $a, b$ og $c$ ændrer plottet.
Find værdierne af $a, b$ og $c$ så kurven for $f(x)$ er en ret linje gennem punkterne $(0,1)$ og $(1,0)$ .
Hvad er den grafiske tolkning af ligningen $f(x) = 0$ ?
Find et sæt værdier af $a, b$ og $c$ således at ligningen $f(x) = 0$ ikke har nogen løsning.
Find et sæt værdier af $a, b$ og $c$ som giver løsningerne $x = -2$ og $x = 2$ til $f(x) = 0$ .
Her er det måske nemmest at faktorisere andengradsligningen, som vist i ligning 1.5.

Brøkregning, løsning af ligninger

Arbitrage er når to identiske produkter har to forskellige priser på forskellige markeder. Så kan man altså købe varen på det ene marked og sælge det videre med profit på det andet marked. Inden for finansiering arbejder man med no arbitrage assumption, dvs. at arbitrage ikke er muligt.

Denne antagelse holder dog ikke altid i virkeligheden, f.eks. inden for sportsbetting. Når man oddser, sætter man penge på et udfald, og får et større beløb igen, hvis man gættede udfaldet rigtigt. Man taber ens indsats hvis man gættede forkert.

Lad os kigge på tennis, en sport med to udfald. Roger Federer spiller mod Rafael Nadal. Enten vinder Federer (dette giver odds $x_1$ ), eller også vinder Nadal (dette giver odds $x_2$ ). Tabellen viser hvilke odds to bookmakere, Bet365 og Danske Spil, giver på de forskellige udfald

$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{lll} \textbf{Bookmaker} & \textbf{Federer vinder} (x_1) & \textbf{Nadal vinder} (x_2) \\ \hline \text{Bet365} & 1.5 & 2.5 \\ \text{Danske Spil} & 2 & 1.75 \end{array}$

Beløbet man får, hvis man gætter udfaldet, findes ved at gange indsatsen med oddset. Lad $y_1$ betegne beløbet man vædder på at Federer vinder, og lad $y_2$ betegne beløbet man vædder på at Nadal vinder.

Helt generelt, hvis man har sat $y_2$ på at Nadal vinder, og dette sker, vil ens tilbagebetaling være $x_2 \cdot y_2$ .

Dvs. hvis Nadal vandt kampen, og man havde spillet 100 kroner på dette hos Danske Spil, havde ens tilbagebetaling været:

$100 \cdot 1.75 = 175 \quad \text{(altså en profit 75 kroner).}$

Federer vinder. Trine satte 1000 kroner hos Bet365 på at Federer ville vinde. Hvor meget får Trine tilbagebetalt?

Et surebet er når man oddser på to forskellige udfald, og er sikker på at vinde penge uanset udfaldet. Ofte, men ikke altid, vil man oddse på det ene udfald hos den ene bookmaker og på det andet udfald hos den anden bookmaker.

Betingelsen for et surebet er at $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} < 1$ .

At spille på Federer hos Bet365 og også Nadal hos Bet365 er for eksempel ikke et surebet, fordi $\frac{1}{1.5} + \frac{1}{2.5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} + \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{5} = \frac{10}{15} + \frac{6}{15} = \frac{16}{15} > 1$ .

Findes der mulighed for et surebet ud fra en kombination af oddsene i tabellen?

Trine har identificeret et surebet, hvis hun spiller på Federer hos Danske Spil og på Nadal hos Bet365. Hun har i alt 100 kroner at spille for, dvs. der gælder at $y_1 + y_2 = 100$ .

Hvis Trine gerne vil have identisk gevinst uanset udfaldet, hvad skal $y_1$ og $y_2$ så være, altså hvor mange penge skal hun lægge på de forskellige udfald? Hvor stor gevinst er Trine sikret på denne måde?

Bo er bokser og vejer 80 kg. Han vil dog gerne ned i en anden vægtklasse. Dette kræver at han vejer 75 kg.

Bo beslutter sig for fra nu at begynde at løbe 5 km hver dag. Hvis han fastholder sit øvrige kalorieregnskab fra før, vil han nu tabe $\frac{1}{20}$ kg om dagen, altså 50 gram (dette skyldes at et kg fedt cirka er 8000 kalorier og man forbrænder ens kropsvægt i kalorier for hver kilometer løb).

Hans vægt, $f(x)$ , kan altså beskrives som funktion af antal dage, $x$ , siden han startede denne slankekur som:

$f(x) = 80 - \frac{1}{20}x \tag{1.6}$

Ud fra funktionen $f(x)$ , efter hvor mange dage vil Bo veje 75 kg?

Det viser sig faktisk at $f(x)$ ikke beskriver virkeligheden særlig godt. Det skyldes at funktionen ikke tager højde for at 5 kilometers løb giver en mindre forbrænding jo mindre man vejer. Tager man højde for dette, kan Bos vægt bedre beskrives som:

$g(x) = \frac{80}{1+\frac{x}{1600}} \tag{1.7}$

Ud fra funktionen $g(x)$ , hvor meget længere tid tager det for Bo at komme ned på 75 kg sammenlignet med svaret i a)?