8Uge 43

En differentiabel funktion $z=f(x,y)$ kan kun have et ekstremum i et indre punkt $(x_0,y_0)$ i en mængde $S$, hvis $(x_0,y_0)$ er et kritisk/stationært punkt, dvs. $$f'_1(x_0,y_0) = 0, \qquad f'_2(x_0,y_0) = 0$$ Bemærk at dette ikke er en tilstrækkelig betingelse. At den er opfyldt betyder ikke, at et punkt er et ekstremum. Men alle indre ekstrema er kritiske punkter.

Lad $(x_0,y_0)$ være et indre kritisk/stationært punkt for en $C^2$ funktion $f(x,y)$ defineret i en konveks mængde $S$. Hvis der for alle $(x,y)\in S$ gælder: $$\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \leq 0, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \leq 0, \quad \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \frac{\partial^2f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \right)^2 \geq 0,$$ så er $(x_0,y_0)$ et maximum for $f$ i $S$, og et minimum hvis: $$\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \geq 0, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2} \geq 0, \quad \frac{\partial^2f}{\partial x^2} \frac{\partial^2f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} \right)^2 \geq 0$$

Lad $(x_0,y_0)$ være et indre kritisk/stationært punkt for en $C^2$ funktion $f(x,y)$ defineret i mængden $S$. Med $A=f''_{11}(x_0,y_0),\quad B=f''_{12}(x_0,y_0), \quad C=f''_{22}(x_0,y_0)$:

1. $A<0$ og $AC-B^2>0$: $(x_0,y_0)$ er lokalt max
2. $A>0$ og $AC-B^2>0$: $(x_0,y_0)$ er lokalt min
3. $AC-B^2<0$: $(x_0,y_0)$ er saddelpunkt
4. $AC-B^2=0$: én af ovenstående