4Uge 39

Lad en funktion $f(x)$ være givet ved udtrykket $f(x) = 6x^3 - 12x^2 - 54x + 108$ for $x > 3$. Find differentialkvotienten for den inverse funktion, $\frac{\mathrm{d} f^{-1}}{\mathrm{d} x}$ i punktet $x = f(4) = 84$.

En funktion $f(x)$ har grafen vist nedenfor. I punktet $(x, y) = (5,4)$ har funktionen en tangent beskrevet af ligningen $y = \frac{5}{4} x - \frac{9}{4}$. Antag at den inverse funktion til $f(x)$ er $g(x)$. Find værdien af differentialkvotienten for den inverse funktion for $x = 4$.

Besvar nedenstående, hvor $f(x) = 2x^3$.

1. Beregn værdien af $\frac{\mathrm{d} f^{-1}}{\mathrm{d} x}$ for $x = f(2) = 16$ ud fra $f'(x)$.
2. Find et eksplicit udtryk for den inverse funktion $g(x) = f^{-1}(x)$.
3. Find et udtryk for $g'(x)$ og beregn $g'(16)$.
4. Har du fået samme resultat i pkt. 1 og 3?

Beregn nedenstående grænseværdier.

1. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln(e^x + 3)}{2x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^2+5}}{5}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} 2x^{-2}e^{-2x}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to \infty} 2x^{2}e^{-2x}$

Kan l'Hôpitals regel anvendes til at beregne nedenstående grænseværdi? $$\lim_{x\to 2} \frac{e^x - 2}{(x - 2)^3}$$ Hvis, ja, find grænseværdien.

Beregn grænseværdien $$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 3x - 6}{2x^2 + 2x - 12}$$

I denne opgave kigger vi på sandsynligheden for at to personer i en gruppe af mennesker har fødselsdag samme dag. Vi er interesseret i hvordan denne sandsynlighed udvikler sig som antallet af personer, $n$, i gruppen vokser.Under antagelse af at der er 365 dage på et år og at alle fødselsdage er lige sandsynlige, kan sandsynligheden for to fødselarer på samme dag, $p(n)$, beskrives som $$p(n) = 1- e^{\frac{-n^2+n}{730}}.$$ Funktionen er plottet nedenunder.

1. Hvad er $\lim\limits_{n\to \infty} p(n)$?
   Hvad er $\lim\limits_{x\to -\infty} e^{x}$?

   Hvad er $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{-x^2+x}{730}$?
   Antag nu at $p(n)$ kan approksimeres med funktionen $h(n) = 1- \frac{(1+n)^{\frac{1}{730}}}{e^{\frac{n^2}{730}}}$
2. Hvad er $\lim\limits_{n\to \infty} h(n)?$
   Brug l'Hôpitals regel.

   Du behøver kun bruge l'Hôpitals regel én gang.
3. Fik du det samme resultat i de to foregående grænseværdier? Var det hvad du havde forventet, rent intuitivt?

Vis at mængden af dej til en cylinderformet pizzabund med radius $z$ og tykkelse $a$, som vist nedenfor, kan skrives som nedenstående funktion af to variable. $$V(z, a) = \pi z^2 a$$ Fun fact

Med udgangspunkt i den fundne funktion, besvares følgende spørgsmål. Svarene på de to første spørgsmål kan med fordel angives i enheder af $\pi\,\mathrm{cm}^3$.

1. Hvor meget dej skal der bruges til en (Chicago style) pizza med en radius på 10 cm og en tykkelse på 1 cm?
2. Hvor meget dej skal der bruges til en pizza (måske fra New York eller Napoli) med en radius på 20 cm og en tykkelse på 2 mm?
3. Hvor mange gange flere dej skal der bruges hvis tykkelsen fordobles?
4. Hvor mange gange flere dej skal der bruges hvis radius fordobles?
5. Vis at $V(tz, ta) = t^k V(z, a)$ og bestem værdien af $k$.

Check

Check

Check

En funktion af to variable er givet ved udtrykket $$f(x, y) = \sqrt{4-x^2-y}$$

1. Hvad er definitionsmængden for $f(x, y)$?
2. Skitsér definitionsmængden.
3. Beregn funktionsværdierne $f(1,3), f(-2,-10)$ og $f(4,1)$. Er de alle mulige at beregne? Hvis nej, hvorfor ikke?

En funktion af to variable er givet ved udtrykket $$f(x, y) = \frac{\sqrt{6-x-y^2}}{\sqrt{(x^2+y^2) - 1}}$$

1. Udtryk definitionsmængden for $f(x, y)$ ved én eller flere uligheder.
   For den ene ulighed er det nemmere at udtrykke $x$ som funktion af $y$ end omvendt.
2. Skitsér definitionsmængden.