10Uge 45

10.1 Pensum til denne uges forelæsning

Afsnit 10.1-10.4 i lærebogen.

10.2 Pensum til denne uges opgaver

Afsnit 18.2-18.5 i lærebogen.

10.3 Noter

Lagrange-multiplikatormetoden

For at finde max/min for $f(x,y)$ med bibetingelsen $g(x,y)=c$ :

Opstil ${\cal L} (x,y) = f(x,y) - \lambda \left( g(x,y)-c \right)$
Differentiér ${\cal L}$ mht $x$ og $y$ og sæt ${\cal L}'_1 = {\cal L}'_2 = 0$ .
Dette giver de tre ligninger:
${\cal L}'_1(x,y) = f'_1(x,y) - \lambda g'_1(x,y) = 0$
${\cal L}'_2(x,y) = f'_2(x,y) - \lambda g'_2(x,y) = 0$
$g(x,y) = c$
Løs disse for $(x,y,\lambda)$ . Disse er løsnings-kandidater.

Fortolkning af Lagrange-multiplikatoren $\lambda$

Der gælder det bemærkelsesværdige resultat, at

$\frac{df^*(c)}{dc} = \lambda(c)$ Hvis $\Delta c$ betegner en lille ændring i $c$ gælder der altså at

$f^*(c + \Delta c) - f^*(c) \approx \lambda(c) \Delta c$ $\lambda$ kaldes i nogle sammenhænge skyggeprisen på ressourcen og siger altså noget om, hvordan den optimale værdi af værdifunktionen ændrer sig når der ændres på $c$ .

Teorem 18.5.1

Hvis $(x_0,y_0)$ er et stationært/kritisk punkt for ${\cal L}(x,y) = f(x,y) - \lambda \left( g(x,y)-c \right)$ , så gælder:

Hvis ${\cal L}$ er konkav, dvs. hvis
$\frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x^2} \leq 0, \qquad \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial y^2} \leq 0, \qquad \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x^2} \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial y^2} - \left[ \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x \partial y} \right]^2 \geq 0$ så er $(x_0,y_0)$ løsning til maksimering af $f(x,y)$ under bibetingelsen $g(x,y)=c$ .
Hvis ${\cal L}$ er konveks, dvs. hvis
$\frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x^2} \geq 0, \qquad \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial y^2} \geq 0, \qquad \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x^2} \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial y^2} - \left[ \frac{\partial^2{\cal L}}{\partial x \partial y} \right]^2 \geq 0$
så er $(x_0,y_0)$ løsning til minimering af $f(x,y)$ under bibetingelsen $g(x,y)=c$ .

10.4 Opgaver

Løs de følgende tre ligninger:

$15x-x^2 = 0$
$-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=0$
$x^3-4x=0$

Betragt problemet:

$\max f(x,y)=3x+4y$ under bibetingelsen $g(x,y)=x^2+y^2=225$ .

Løs maksimeringsproblemet, men også det tilsvarende minimeringsproblem.
Antag at højresiden af bibetingelsen ændres fra 225 til 224. Hvor meget ændres den maksimale værdi af $f$ omtrent?

Allan skal bygge en firkantet hundegård, og vi er interesseret i arealet af den. Han vil bruge lærketræ til længden og og bøg til bredden. Per meter koster lærketræ 500 kroner og bøg koster 250 kroner per meter. Allan har afsat 10,000 kroner til hundegården.

Indfør passende betegnelser for variable og funktioner og opstil et maksimeringsproblem under bibetingelser der maksimerer arealet af hundegården under hensyntagen til priserne på træ og Allans budget.
Løs problemet og angiv hvad det størst mulige areal er. Du kan antage der er et maksimum.
Allan fortryder at han ikke afsatte flere penge til byggeriet. Antag nu at han havde afsat 1000 kroner ekstra. Brug dine udregninger i 2. og besvar spørgsmålet: Hvor stor var hundegården i så fald cirka blevet?
Allan er skeptisk over for approksimationer. Han foretrækker eksakte svar. Hvis budgettet til hundegården havde været 11,000 kroner, hvor stor var hundegården da endt med at blive?

En Cobb-Douglas produktionsfunktion for at producere jeans er givet ved

$N(x,y)=60x^{0.8}y^{0.2}$ hvor $x$ er antal enheder arbejdskraft med enhedsomkostning 40 kr. og $y$ er antal enheder af kapital med enhedsomkostning 100 kr. Det samlede budget er 500,000 kr.

Find fordelingen af $x$ og $y$ , der maksimerer produktionen af jeans. Du kan antage at der er et maksimum.

I figur A nedenfor er vist niveaukurverne for en funktion $f(x, y)$ . På hver niveaukurve fremgår værdien af $f(x, y)$ . Brug figur A, B og C til at besvare følgende spørgsmål.

I figur B er vist løsningen til et optimeringsproblem med bibetingelsen $x + y = c$ , hvor $c = 7.1$ . Er problemet et minimeringsproblem eller et maksimeringsproblem?
I figur C er vist en løsning til et optimeringsproblem (med rødt) med en anden værdi for $c$ . Hvilken værdi af $c$ svarer den viste løsning til?
Hvad er, cirka, værdien af $\lambda$ ?

Betragt funktionen

$f(x,y) = 4xy$ under bibetingelsen $x^2+y^2=8$ .

Find de kritiske punkter for Lagrangefunktionen.
Afgør hvad der er minimum og maksimum ved at beregne funktionsværdien i de fundne punkter. Du kan antage at punkter med den højeste funktionsværdi er løsning til maksimeringsproblemet og punkter med den laveste funktionsværdi er løsning til minimeringsproblemet (dette er ikke altid tilfældet).

Maksimér $f(x,y)=10x^{1/2}y^{1/3}$ under bibetingelsen $2x+4y=10$ hvor $x\geq 0$ og $y\geq 0$ . Find værdierne af $x,$ $y$ og $\lambda$ som løser førsteordensbetingelserne. Du kan antage at det fundne punkt er en løsning til maksimeringsproblemet.

(Tidligere eksamensopgave)

Betragt følgende matematiske problem:

$\min f(x,y)=x^2+y^2$ under bibetingelse af, at $10=x+y$ .

Løs problemet.
Hvordan kan du vide, at du ikke ovenfor har fundet et maksimumspunkt for funktionen $f(x,y)$ ?

(Tidligere eksamensopgave)

En funktion er givet ved forskriften:

$f(x,y) = 10x+20y-(x^2+y^2)+50$

Find det stationære/kritiske punkt for funktionen.
Karakterisér dette punkt ved hjælp af en andenordenstest.
Løs maksimeringsproblemet $\max f(x,y)$ under bibetingelsen $g(x,y)=10$ , hvor $g(x,y)=x+4y$ .
Vis at det fundne punkt er et maksimum og ikke et minimum.

(Tidligere eksamensopgave)

En funktion af to variable $f(x, y)$ er givet ved udtrykket

$f(x, y) = xy^{\frac{2}{3}}, \quad x > 0, \, y > 0$

Find $x$ og $y$ der maksimerer funktionen under bibetingelsen $g(x, y) = 2 x + 3 y = 2$ . Du kan antage at det fundne punkt er en løsning til maksimeringsproblemet.
Hvilken af nedenstående figurer viser løsningen grafisk? Begrund kort dit svar.