13Uge 48

13.1 Pensum til denne uges forelæsning

Afsnit 12.6–12.7 og 13.1 i lærebogen.

13.2 Pensum til denne uges opgaver

Afsnit 10.7, 12.1 – 12.3 og 12.5 i lærebogen.

13.3 Noter

Uendelige integrationsgrænser

Et bestemt integral med $\pm \infty$ som øvre eller nedre grænse kaldes et uegentligt integral og defineres ved grænseværdier:

$\int_a^{\infty} f(x) \, {\mathrm{d}}x = \lim\limits_{b\to \infty} \int_a^b f(x) \, {\mathrm{d}}x$

$\int_{-\infty}^{b} f(x) \, {\mathrm{d}}x = \lim\limits_{a\to -\infty} \int_a^b f(x) \, {\mathrm{d}}x$ Hvis grænseværdien eksisterer (og er endelig) siges integralet at være konvergent og i modsat fald at være divergent.

Ubegrænset integrand

Hvis $f(x)$ er kontinuert i $]a,b]$ , men $f(x)$ er udefineret i $a$ defineres det bestemte integral som:

$\int_a^b f(x)\, {\mathrm{d}}x = \lim_{h\to 0^+} \int_{a+h}^b f(x)\, {\mathrm{d}}x$ Hvis grænseværdien eksisterer (og er endelig) siges integralet at være konvergent og i modsat fald at være divergent.

13.4 Opgaver

(Tidligere eksamensopgave)

Beregn integralet:

$\int_0^1 \frac{e^x}{(x+1)^{-2}}{\mathrm{d}}x$

(Tidligere eksamensopgave)

Beregn det følgende integral:
$\int_0^1 (e^x+e^{-x})^2{\mathrm{d}}x$
Beregn det følgende integral:
$\int \frac{w}{(1-w)^3}{\mathrm{d}}w$

Find det følgende integral:

$\displaystyle\int_{-\infty}^0 e^x \, {\mathrm{d}}x$

I nogle vurderingsmodeller bliver ejerboliger værdisat til nutidsværdien af den sparede husleje fra købstidspunktet ( $t=0$ ) og frem i al evighed.

Lad $c$ betegne årlig sparet husleje (i millioner) og $r$ betegner renten i decimaltal. Da kan værdien af en ejerbolig, $V$ , beregnes som:

$V= \int_0^{\infty} c e^{-rt} \, {\mathrm{d}}t, \tag{13.1}$

Allan har tjent mange penge på at bygge hundegårde til sine naboer, og overvejer nu at købe et hus der kan lejes ud for 100.000 kroner om året, og han regner med en rente på 5%. Ifølge modellen i (13.1), hvilken værdi har huset da?

Find det følgende integral:

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3} \, {\mathrm{d}}x$

Find det følgende integral:

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \, {\mathrm{d}}x$

(Tidligere eksamensopgave)

Beregn integralet:

$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{3}{x^2} \, {\mathrm{d}}x$

Betragt integralet:

$\int_0^{\infty} k e^{-kx} \, {\mathrm{d}}x, \tag{13.2}$

hvor $k$ er en arbitrær konstant. For hvilke værdier af $k$ er integralet divergent?

(Tidligere eksamensopgave)

En butik har fået opstillet en model for sandsynligheden for, hvor lang tid der går, mellem der ankommer kunder til kassen. Tiden, i minutter, mellem kunder kaldes $t$ og modellen har en sandsynlighedstæthed, $f(t)$ , som er givet ved funktionen

$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \qquad t \ge 0,$ hvor $\lambda$ er en positiv konstant, som er en parameter i modellen. Sandsynligheden for at der kommer en kunde inden for fem minutter efter den foregående kunde, er givet ved det skraverede areal i figuren nedenfor.

Find stamfunktionen til $f(t)$ .
Den kumulative sandsynlighedsfordeling er givet ved en bestemt stamfunktion, $F(t)$ , til $f(t)$ , nemlig den som opfylder $F(0) = 0$ . Brug denne oplysning til at bestemme integrationskonstanten og dermed $F(t)$ .
Beregn sandsynligheden for, at den næste kunde kommer inden for fem minutter efter den foregående kunde.

Bestem værdien af nedenstående bestemte integraler.

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, {\mathrm{d}}x$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^3} \, {\mathrm{d}}x$
$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, {\mathrm{d}}x$

Betragt det bestemte integral

$\int_{0}^{e} \ln(x) \, {\mathrm{d}}x$

Nedenstående figur illustrerer integralet.

Hvordan opfører integranden sig når $x \to 0$ ?
Bestem værdien af integralet.

Husk at " $0 \cdot \infty$ " er udefineret.
Brug l'Hôpitals regel.
Benyt omskrivningen $x \ln x = \frac{\ln x}{x^{-1}}$ .