6Uge 41

6.1 Pensum til denne uges forelæsning

Sektion 15.3 og 17.1 i lærebogen.

6.2 Pensum til denne uges opgaver

Sektion 15.1-15.2 i lærebogen.

6.3 Noter

Kæderegler

Kædereglen for den sammensatte funktion af to variable $F(x,y)$ , hvor $x=f(t)$ og $y=g(t)$ , er givet ved:

$\frac{dF}{dt} = F'_1(x,y)f'(t) + F'_2(x,y)g'(t)$

I Leibniz's notation skrives dette:

$\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Ved at udvide fra 1 variabel ( $t$ ) til 2 variable ( $t$ og $s$ )

$z = F(x,y), \qquad x = f(t,s), \quad y=g(t,s)$

Kædereglen er dermed:

$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}$

Endelig er der den helt generelle kæderegel for en funktion $F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ af $n$ variable, som hver er funktioner af $m$ andre variable, $x_1 = f_1(t_1,t_2,\ldots,t_m), \ldots, x_n = f_n(t_1,t_2,\ldots,t_m)$ :

$\frac{\partial F}{\partial t_j} = \frac{\partial F}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_j} + \frac{\partial F}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_j} + \cdots + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial t_j}$

6.4 Opgaver

En funktion af to variable er givet ved:

$f(x,y) = \sqrt{9+2\ln(x-2) + 2\ln(y-2)}$ Hvad er definitionsmængden?

En funktion af to variable er givet ved:

$f(x,y) = \frac{1}{e^{2x+2y}-4}$ Hvad er definitionsmængden?

Find alle første- og andenordens partielt afledte af:

$z = x^4-3x^3y+\ln(x)$

For $f(x,y) = x^4e^{2y}+x^2$ , find alle første- og andenordens partielt afledte i punktet: $(x,y)=(1,0)$

For funktionen $z=x + y^2$ , hvor $x=t^2$ og $y=t^3$ , find $\frac{dz}{dt}$ . Udtryk dit svar i form af $t$ .

For funktionen $z=10e^{4x}+8\ln(y)$ , hvor $x=4t^2$ og $y=\frac{5}{t}$ , find $\frac{dz}{dt}$ . Udtryk dit svar i form af $t$ .

Betragt en funktion $z=D(p,q)$ , hvor $p=400e^{0.2t}$ og $q=50e^{-0.4t}$ . Find $\frac{dz}{dt}$ .

Salget af is per time, $S$ , ved en bestemt strand er i sommerperioden en funktion, $S(T, N)$ , af temperaturen $T$ og antallet af strandgæster $N$ . Både temperaturen og antallet af strandgæster er funktioner af skydækket $v$ , som er 0 hvis der ikke er nogen skyer og 1 hvis det er totalt overskyet.

Opstil et udtryk for $\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} v}$ ved at trække de rigtige udtryk op i boksene.
$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} v}$ =
$\,\cdot\,$
$\,+\,$
$\,\cdot\,$
$\frac{\partial T}{\partial v}$
$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} v}$
$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} N}$
$\frac{\partial S}{\partial N}$
$\frac{\partial N}{\partial v}$
$\frac{\partial S}{\partial v}$
$\frac{\partial S}{\partial T}$
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} v}$
$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}$
Korrekt! Forkert. Prøv igen!
Træk nu de udtryk op i boksene, som passer med udsagnene.
a. Tilvæksten i issalget, når antallet af strandgæster øges:
b. Stigningen i temperatur, når skydækket øges:
c. Stigningen i issalget, når skydækket øges:
d. Stigningen af antal strandgæster, når skydækket øges:
e. Stigningen i issalget, når temperaturen øges:

$\frac{\partial T}{\partial v}$
$\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} v}$
$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} N}$
$\frac{\partial S}{\partial N}$
$\frac{\partial N}{\partial v}$
$\frac{\partial S}{\partial v}$
$\frac{\partial S}{\partial T}$
$\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} v}$
$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} v}$
Korrekt! Forkert. Desværre ikke korrekt. Prøv igen!

Et energiselskab ønsker at lave en prognose for energiforbruget, baseret på historiske data. Selskabet antager at energiforbruget, $E$ , for en gennemsnitlig husstand er en funktion af udetemperaturen, $T$ , og dagslængden $L$ , som begge er funktioner af tiden på året, $t$ .

Indfør, og definér, selv de nødvendige variable og funktioner der skal til for at besvare nedenstående spørgsmål. Du kan også blive nødt til at gøre nogle antagelser, som du skal argumentere for.

Opskriv et udtryk for $E$ .
Du kender ikke den specifikke form for $E$ , men du ved at $E$ er en funktion af $T$ og $L$ , som igen er funktioner af $t$ . Du kan derfor selv indføre disse funktioner og opskrive et generelt udtryk.
Opskriv et udtryk for $\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t}$ .
Giv en fortolkning af alle de størrelser, der indgår i de to udtryk.
Giv et bud på fortegnet for de størrelser, du fandt, når er:
1. omkring 1. maj.
2. omkring 1. oktober.
  Det kan være en idé at antage hvor du befinder dig, fx om det er på den nordlige eller sydlige halvkugle.

For funktionen $z=5xy^2-6x^2y$ , hvor $x=3s+t$ og $y=4s-t$ , find $z'_s$ og $z'_t$ .

For funktionen $z=y^2 e^{2xy}$ , hvor $x=t-3s$ og $y=ts^2$ , find $z'_s$ . Find derefter $z'_s$ i punktet $(t,s)=(1,1).$

I denne opgave kigger vi på Toyotas omkostninger til bilproduktion. Toyota producerer både elbiler og benzinbiler. Lad $z$ betegne de totale omkostninger ved deres bilproduktion. Lad $x$ betegne antal producerede elbiler og lad $y$ betegne antal producerede benzinbiler.

Vi har altså at de totale omkostninger er en funktion, kaldet $f$ , af det producerede antal af de forskellige biltyper: $z = f(x,y)$ .

Hvor mange biler af hver type der produceres afhænger af hvordan Toyota sætter prisen på bilerne. Hvis f.eks. de gør elbiler dyrere kan man forestille sig flere vil købe benzinbilerne, og der skal så produceres færre elbiler.

Lad $j$ betegne prisen på elbiler og $k$ prisen på benzinbiler. Vi har altså at $x=g(j,k)$ og $y=h(j,k)$ , hvor $g$ og $h$ er to funktioner.

Vi er interesseret i hvordan Toyotas omkostninger til bilproduktion ændrer sig når prisen på elbiler ændrer sig. Med kædereglen kan vi opskrive dette udtryk som:

$\frac{\partial z}{\partial j} = f_1'(x,y) \frac{\partial x}{\partial j} + f_2'(x,y) \frac{\partial y}{\partial j}$

Du skal nu matche matematiske udtryk til sproglige udsagn. Træk udtrykkene i de nederste kasser op i de tomme kasser, så ligningerne kommer til at passe.

a) De totale omkostninger vokser når antallet af producerede benzinbiler vokser

b) Antallet producerede elbiler falder når prisen på elbiler vokser

c) Omkostningerne til elbiler falder når prisen på elbiler vokser

d) Omkostningerne til benzinbiler vokser når prisen på elbiler vokser

$f_1'(x,y) \frac{\partial x}{\partial j} > 0$

$f'_1(x,y) > 0$

$f_2'(x,y) > 0$

$\frac{\partial x}{\partial j} < 0$

$f'_2(x,y) \frac{\partial x}{\partial j} > 0$

$f'_1(x,y) \frac{\partial x}{\partial j} < 0$

$\frac{\partial x}{\partial j} > 0$

$\frac{\partial y}{\partial j} > 0$

Betragt funktionen defineret ved

$w=xy+yz-xz$ hvor $x=4u+2v$ , $y=4u-5v$ , og $z=uv$ . Find udtrykket for $\frac{\partial w}{\partial u}$ og $\frac{\partial w}{\partial v}$ som funktioner af $u$ og $v$ . Find derefter $\frac{\partial w}{\partial u}$ og $\frac{\partial w}{\partial v}$ i punktet $(u,v) = (1,4)$ .