11Uge 46

11.1 Pensum til denne uges forelæsning

Afsnit 10.5-10.6 i lærebogen.

11.2 Pensum til denne uges opgaver

Afsnit 10.1-10.4 i lærebogen.

Noter

Definitioner

Ubestemt integral:

$\int f(x)\, dx = F(x) + C$

Bestemt integral:

$\int_a^b f(x)\, dx = \bigg|_a^b F(x) = F(b) - F(a)$

Generelle regler

$\displaystyle\int af(x) \, dx = a\displaystyle\int f(x)$

$\displaystyle\int a \, dx = ax + C$

$\displaystyle\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C, \quad a\neq -1$

$\displaystyle\int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C,\quad x\neq 0$

$\displaystyle\int e^x\, dx = e^x + C$

$\displaystyle\int e^{ax}\, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C, \quad a\neq 0$

$\displaystyle\int a^{x}\, dx = \frac{1}{\ln a}a^x + C, \quad a>0,\, a\neq 1$

$\displaystyle\int \ln x\, dx = x\ln x - x + C, \quad x>0$

Regler for bestemte integraler

$\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx$

$\displaystyle\int_a^a f(x)\, dx = 0$

$\displaystyle\int_a^b \alpha f(x)\, dx = \alpha \int_a^b f(x)\, dx$

$\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx$

$\displaystyle\int_a^b f(x) + g(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx$

11.3 Opgaver

Beregn det følgende ubestemte integral:

$\int (14x^2-8x+2)\, {\mathrm{d}}x$

Beregn det følgende ubestemte integral:

$\int \frac{1}{2x^4}\, {\mathrm{d}}x$

Beregn det følgende ubestemte integral:

$\int (x^4 + 5e^{-2x} - \sqrt{x})\, {\mathrm{d}}x$

Beregn det følgende ubestemte integral:

$\int \frac{u^6-4u^3+12}{u^4}\, {\mathrm{d}}u$ Beregn derefter det bestemte integral:

$\int_{1}^{2} \frac{u^6-4u^3+12}{u^4}\, {\mathrm{d}}u$

Du er til FN klimatopmøde og skal koble matematiske udtryk til samme betydning i en almindelig sætning.

Lad $f(x)$ betegne jordens samlede $\mathrm{CO}_2$ -udslip i år $x$ målt i millioner ton.

Hvis jorden udledte 10.000 millioner tons $\mathrm{CO}_2$ i år 2022, vil der altså gælde at $f(2022) = 10^4$ .

Forbind udsagnene nedenfor med de korrekte matematiske udtryk ved at trække de matematiske udtryk op i de kasser der passer til udsagnene.

a) $\mathrm{CO}_2$ -udslippet var højere i 2000 end i 2010:

b) $\mathrm{CO}_2$ -udslippet toppede i 2005:

c) De seneste tredive år (skrevet i 2022) er der i alt udledt lige så meget $\mathrm{CO}_2$ som i hele den foregående periode siden industrialiseringens begyndelse i 1850:

d) I 2012 blev der cirka udledt 240 millioner tons mindre end året før:

$f(2012) < 240$

$\displaystyle\int_{1850}^{1992} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{1992}^{2022} f(x) \, \mathrm{d}x$

$f'(2000) > f'(2010)$

$f(2005) = 0$ og $f''(x) > 0$

$\displaystyle\int_{1850}^{1992} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{30} f(x) \, \mathrm{d}x$

$f'(2005) = 0$ og $f''(x) < 0$

$f'(2012) = -240$

$f(2010) < f(2000)$

$f(0) = 2005$

$f'(2005) = 0$ og $f''(x) > 0$

Beregn det bestemte integral:

$\int_{0}^{3}(2x^2+4)dx$

Et bestemt integral kan beregnes som grænseværdien af en sum i grænsen hvor antallet af led i summen går mod uendelig. Denne definition på et bestemt integral kaldes Riemann-integralet. Integralet kan skrives som (se side 371 i lærebogen):

$\int_a^b f(x) \,\mathrm{d} x = \lim_{n\to\infty} \sum_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i) \Delta x_i,$ hvor $\xi_i$ er en værdi i det $i$ 'te interval og $\Delta x_i$ er intervallets bredde.

Nedenfor er vist et eksempel hvor $f(x) = 2x^2+4$ . Her er ikke taget grænsen $n\to\infty$ , men resultatet af summen bliver beregnet i plottet.

Forklar parametrene, der styres af de tre sliders og relatér dem til formlen ovenfor.
Forklar hvad der sker med summen, når antallet af led bliver større.
Bestem så godt som muligt integralet i opgave (11.6) ved at vælge passende værdier på de tre slidere.
Fik du samme resultat som i opgave (11.6)?

Beregn det bestemte integral:

$\int_{a}^{b}5e^{4t}dt$

Ifølge DMI er et skybrud defineret ved, at nedbørmængden overstiger 15 mm på 30 minutter mens der er tale om kraftig regn, når nedbørmængden overskrider 24 mm på 6 timer over et større område.

Formulér definitionerne på skybrud og kraftig regn matematisk. Indfør selv nødvendige variable, funktioner, mv. således at definitionerne kan opskrives matematisk.

Beregn det bestemte integral:

$\int_{0}^{4}\sqrt{3x}dx$

Beregn det bestemte integral:

$\int_{1}^{2}\frac{1+x^3}{x^2}dx$

Træk kasserne nedenfor op i de tomme kasser så integralet svarer til det skraverede areal i figuren ovenfor.

$\int_a^b h(x)\, \mathrm{d}x$

hvor $a =$

, $b =$

og $h(x) =$

$f(x)-g(x)$

$g(x)-f(x)$

$0$

$5$

$\vert g(x) - f(x) \vert$

$f(x) + g(x)$

$\sqrt{( f(x) - g(x) )^2}$

Der er mere end én korrekt løsning. Hvor mange kan du finde?

Beregn arealet, der er begrænset af grafen for funktionen $f(x)= 1/x^3$ , $x$ -aksen og de to linjer $x=-2$ og $x=-1$ .

$f(x) < 0$ for $-2 \leq x \leq -1$ .

Bestem det bestemte integral:

$\int_{-3}^{3}(x-1)^2dx$

Bestem det bestemte integral:

$\int_{-2}^{2}(e^x-e^{-x})dx$

(Tidligere eksamensopgave)

Udregn integralet:

$\int_{5}^{10} e^{(x-5)}+\frac{1}{5}dx$